EN ESTA SECCION SE PRESENTARAN ALGUNOS TRABAJOS REALIZADOS EN EL QUINTO SEMESTRE DE LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS POR LOS NORMALISTAS.
ESTA SECCION SE MOSTRARA LO NUEVO DE ESTE GRUPÒ.
miércoles, 16 de noviembre de 2011
LA NORMAL ACTUALIZADA
EN ESTA SECCION SE PRESENTARAN ALGUNOS TRABAJOS REALIZADOS EN EL QUINTO SEMESTRE DE LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS POR LOS NORMALISTAS.
ESTA SECCION SE MOSTRARA LO NUEVO DE ESTE GRUPÒ.
miércoles, 26 de enero de 2011
lunes, 11 de octubre de 2010
LOS NÚMEROS ENTEROS
LOS NUMEROS ENTEROS
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India. Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números ,en Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas, El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos. En la matemática moderna el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).Bueno como ya saben que los números los naturales son el conjunto de los enteros positivos; esos que normalmente utilizamos para contar: (1,2,3,4...hasta el infinito) , y también supongo que ya sabes que existe otro conjunto de números que son los enteros negativos: (-1,-2,-3,-4...hasta el infinito negativo), entonces el conjunto de los números "ENTEROS" esta conformado por el conjunto de los enteros positivos (1,2,3,4...hasta infinito) y los enteros negativos: (-1,-2,-3,-4...hasta infinito negativo) es decir que tanto los enteros positivos como los enteros negativos son un subconjunto de los "ENTEROS". Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno y los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo: a + x = b
para la incógnita x.. Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, donde es el orden usual sobre, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»). Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo − 3 = 5 − 8, de donde puede asociarse el número − 3 con el par ordenado (5,8) de números naturales. Sin embargo, debido a que (4,7) y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado − 3 al restar sus componentes, no puede decirse simplemente que − 3 = (5,8). Lo que puede hacerse,
es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado − 3 al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados (a,b) y (c,d) puedan ser asociados al mismo número entero, de igual manera Tenemos operaciones elementales de suma y multiplicación de números enteros con los propiedades siguientes para todos los a; b; c 2 Z:
1. Propiedades asociativas, a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) =
(ab)c.
2. Propiedades conmutativas a + b = b + a, ab = ba;
3. Propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac;
4. Elementos neutros a + 0 = a, a1 = a;
5. Elemento simétrico para la suma, existe ¡a 2 Z tal que
a + (¡a) = 0.Escribiremos a ¡ b = a + (¡b).Dominio de integridad: ab = 0 si y sólo si a = 0 ´o b = 0.
Pero en conclusión se debe de dar la importancia de los números enteros en las bases de las matemáticas porque gracias a ellas se dieron los primeros inicios de nuestra civilización y de toda la trayectoria del mundo de las matemáticas que conocemos, porque de ellos surgen lo que es el comercio, las transacciones, los cálculos, las probabilidades ,en fin un montón de utilidades que nos han servido a través de la historia humana, por lo que nosotros como docentes tenemos la labor de transmitir esos conocimientos que han pasado por generaciones , pero para que estos conocimientos estén bien fundamentados necesitamos contar con técnicas y estrategias para que nuestro tema de los números enteros y cualquier otro sea entendible, sin caer en confusión y dudas , de igual manera, tratar que el alumno le tome cariño por las matemáticas y sus contenidos por lo que hay que tratar de motivarlos para que se logren todos los objetivos deseados y exista un aprendizaje, así que la labor es dura pero no imposible para un maestro de matemáticas en relación a la materia y sus temas en este caso , los números enteros.
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India. Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números ,en Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas, El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos. En la matemática moderna el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).Bueno como ya saben que los números los naturales son el conjunto de los enteros positivos; esos que normalmente utilizamos para contar: (1,2,3,4...hasta el infinito) , y también supongo que ya sabes que existe otro conjunto de números que son los enteros negativos: (-1,-2,-3,-4...hasta el infinito negativo), entonces el conjunto de los números "ENTEROS" esta conformado por el conjunto de los enteros positivos (1,2,3,4...hasta infinito) y los enteros negativos: (-1,-2,-3,-4...hasta infinito negativo) es decir que tanto los enteros positivos como los enteros negativos son un subconjunto de los "ENTEROS". Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno y los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo: a + x = b
para la incógnita x.. Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, donde es el orden usual sobre, es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»). Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo − 3 = 5 − 8, de donde puede asociarse el número − 3 con el par ordenado (5,8) de números naturales. Sin embargo, debido a que (4,7) y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado − 3 al restar sus componentes, no puede decirse simplemente que − 3 = (5,8). Lo que puede hacerse,
es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado − 3 al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados (a,b) y (c,d) puedan ser asociados al mismo número entero, de igual manera Tenemos operaciones elementales de suma y multiplicación de números enteros con los propiedades siguientes para todos los a; b; c 2 Z:
1. Propiedades asociativas, a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) =
(ab)c.
2. Propiedades conmutativas a + b = b + a, ab = ba;
3. Propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac;
4. Elementos neutros a + 0 = a, a1 = a;
5. Elemento simétrico para la suma, existe ¡a 2 Z tal que
a + (¡a) = 0.Escribiremos a ¡ b = a + (¡b).Dominio de integridad: ab = 0 si y sólo si a = 0 ´o b = 0.
Pero en conclusión se debe de dar la importancia de los números enteros en las bases de las matemáticas porque gracias a ellas se dieron los primeros inicios de nuestra civilización y de toda la trayectoria del mundo de las matemáticas que conocemos, porque de ellos surgen lo que es el comercio, las transacciones, los cálculos, las probabilidades ,en fin un montón de utilidades que nos han servido a través de la historia humana, por lo que nosotros como docentes tenemos la labor de transmitir esos conocimientos que han pasado por generaciones , pero para que estos conocimientos estén bien fundamentados necesitamos contar con técnicas y estrategias para que nuestro tema de los números enteros y cualquier otro sea entendible, sin caer en confusión y dudas , de igual manera, tratar que el alumno le tome cariño por las matemáticas y sus contenidos por lo que hay que tratar de motivarlos para que se logren todos los objetivos deseados y exista un aprendizaje, así que la labor es dura pero no imposible para un maestro de matemáticas en relación a la materia y sus temas en este caso , los números enteros.
martes, 7 de septiembre de 2010
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